试题

题目：
青果学院（2004·天津）如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA=PB+PC；②
1
PA
=
1
PB
+
1
PC
；③PA·PE=PB·PC．其中，正确结论的个数为（　　）



答案
B
青果学院解：延长BP到D，使PD=PC，连接CD，可得∠CPD=∠BAC=60°，
则△PCD为等边三角形，
∵△ABC为正三角形，
∴BC=AC
∵∠PBC=∠CAP，∠CPA=∠CDB，
∴△APC≌△BDC（AAS）．
∴PA=DB=PB+PD=PB+PC，故①正确；
由（1）知△PBE∽△PAC，则
PA
PC
=
PB
PE
，
PA
PB
=
PC
PE
，
PA
PB
+
PA
PC
=
PC
PE
+
PB
PE
≠1，
∴②错误；
∵∠CAP=∠EBP，∠BPE=∠CPA
∴△PBE∽△PAC
∴
PA
PB
=
PC
PE

∴PA·PE=PB·PC，故③正确；
故选B．
考点梳理
等边三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
根据题意：易得△APC≌△BDC．即AP=BD，有PA=DB=PB+PD=PB+PC正确．同时可得：②错误，同理易得△PBE∽△PAC，故有PA·PE=PB·PC；③正确．
本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60°．
压轴题．
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