试题

题目：
青果学院（2010·嘉兴）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②
1
MN
=
1
AC
+
1
BC
；③MN≤
1
4
AB，其中正确结论的个数是（　　）



答案
D
解：（1）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，∴
CN
NE
=
DC
BE
①
∵CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，∴
AM
ME
=
AD
CE
②
∵等腰直角△ACD和△BCE，
∴CD=AD，BE=CE，
∴
CN
NE
=
AM
ME
，
∴MN∥AB；

（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴
CN
NE
=
DN
NB
，
设
CN
NE
=
DN
NB
=k，
则CN=kNE，DN=kNB，
∵MN∥AB，
∴
MN
AC
=
NE
CE
=
NE
NE+CN
=
1
k+1
，
MN
BC
=
DN
DB
=
DN
DN+NB
=
k
k+1
，
∴
MN
AC
+
MN
BC
=1，
∴
1
MN
=
1
AC
+
1
BC
；

（3）∵
1
MN
=
1
AC
+
1
BC
，
∴MN=
AC·BC
AC+BC
=
AC·BC
AB
，
设AB=a（常数），AC=x，
则MN=
1
a
x（a-x）=-
1
a
（x-
1
2
a）2+
1
4
a≤
1
4
a．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
（1）用平行线分线段成比例定理；
（2）根据相似三角形的性质，化简分式可得；
（3）要利用二次函数最值即可求解．
此题考查了三角形相似的判定与性质、平行线分线段成比例定理、比例变形及二次函数的应用．
压轴题．
找相似题