试题

题目：
青果学院如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当
OA
OB
=
1
2
时，
OP
OQ
的值为
3
2
3
2
．（用含n的式子表示）
答案
3
2

青果学院解：过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，
∴∠OHP=∠OGQ=90°．
∵∠ACB=90°，
∴四边形HCGO为矩形，
∴∠HOG=90°，
∴∠HOP=∠GOQ，
∴△PHO∽△QGO，
∴
OH
GO
=
OP
OQ
．
∵
OA
OB
=
1
2
，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°，
∴AH=
1
2
x，OG=x．
在Rt△AHO中，由勾股定理，得
OH=
3
2
x，
∴
3
2
x
x
=
OP
OQ
，
∴
OP
OQ
=
3
2
．
故答案为：
3
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；旋转的性质．
如图，过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由条件可以表示出HO、GO的值，通过证明△PHO∽△QGO由相似三角形的性质就可以求出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质．
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