试题

题目：
△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的动点，BD=mCD，AE=nEC，AD与BE相交于点O．
（1）如图1，当m=2，n=1时，
OB
BE
=
4
5
4
5
，
S△AOE
S四边形CDOE
=
3
7
3
7
；
（2）当m=1.5时，求证：
OA
OD
=
5AE
3CE
；
（3）如图2，若CO的延长线交AGB于点F，当m、n之间满足关系式
n=2m
n=2m
时，AF=2BF．（直接填写结果，不要求证明）
青果学院
答案
4
5

3
7

n=2m

青果学院（1）解：过点E作EF∥BC，交AD于F，
∴
EF
CD
=
AE
AC
，
∵AE=EC，
∴
EF
CD
=
1
2
，
∵BD=2CD，
∴
EF
BD
=
1
4
，
∵
OB
OE
=
BD
EF
=4，
∴
OB
BE
=
4
5
，
∴
S△AEF
S△ACD
=
1
4
，
∵
AF
AD
=
1
2
，
OF
OD
=
EF
BD
=
1
4
，
∴
OF
AF
=
1
5
，
设S△OEF=x，则S△AEF=5x，S△ABC=20x，
∴S△AOE=6x，S四边形CDOE=14x，
∴
S△AOE
S四边形CDOE
=
3
7
；

（2）证明：如图，过点D作DF∥AC交BE于点F，
∴
OA
OD
=
AE
FD
，
FD
CE
=
BD
BC
，
∵BD=mCD，AE=nEC，
∴FD=
BD
BC
×CE=
m
m+1
CE，
∴
OA
OD
=
AE
CE
·
m+1
m
，
∵m=1.5，
∴
OA
OD
=
AE
CE
·
5
3
，
即
OA
OD
=
5AE
3CE
；
青果学院
（3）解：过点D作DH∥AB交FC于点H，与（2）同理可得，
OA
OD
=
AF
DH
，
DH
BF
=
CD
BC
，
∵BD=mCD，
∴DH=
CD
BC
·BF=
1
m+1
BF，
∴
OA
OD
=
AF
BF
（m+1），
∵
OA
OD
=
AE
CE
·
m+1
m
，AE=nEC，
∴
AF
BF
=
AE
CE
·
1
m
=
n
m
，
∴当AF=2BF时，
n
m
=2，
解得n=2m．
故答案为：（1）
4
5
，
3
7
；（3）n=2m．
考点梳理
平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．
（1）过点E作EF∥BC，交AD于F，根据n=1可知点E是AC的中点，所以EF=
1
2
DC，再根据m=2可以整理出EF与BD的比，从而得到OB与OE的比值，
OB
BE
可得；根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，先求出△AEF与△ACD的比值，再根据等高的△AEF与△OEF面积的比等于底边的比求出△AEF与△OEF的面积的比，然后用△OEF的面积表示出△AEF的面积，然后结合图形解答；
（2）过点D作DF∥AC交BE于点F，根据平行线分线段成比例定理可以得到
OA
OD
=
AE
FD
，
FD
CE
=
BD
BC
，然后再把BD=mCD，AE=nEC代入即可得到OA、OD、AE、CE四条线段与m、n的关系，把m=1.5代入计算即可得证明；
（3）同（2）的思路，过点D作DH∥AB交FC于点H，可以得到AF、FB与m、n的关系，然后把AF=2BF代入即可得到m、n的关系．
本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，合理作出辅助线是解题的关键，难度较大，极富挑战性．
综合题；压轴题．
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