试题

在RT△ABC中，AB=3

2

，∠A=90°，∠ABC=45°．点D是AB边的中点，点E从点B开始以每秒一个单位长的速度沿射线CB的方向运动，运动时间为t，连接ED并延长交AC于点F，如图．
（1）设△EBD的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（2）是否存在t的值，使得AF：FC=1：4？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，S_△ADF：S_△EBD=1：2？

解：（1）作DP⊥BC，AQ⊥BC，垂足分别为P、Q．
∵AB=3

2

，∠A=90，∠ABC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，BC=6，
∴AQ=3，
∵D是AB中点，
∴DP=

1

2

AQ=

3

2

，
∴S=

1

2

BE×DP=

1

2

t×

3

2

=

3

4

t，
∴S=

3

4

t；

（2）作AG∥BC交EF延长线于G点，
∴∠G=∠E，
∵D为中点，
∴DB=DA，
在△EBD和△GAD中，

∠E=∠G ∠EDB=∠GDA DB=DA

，
∴△EBD≌△GAD（AAS），
∴AG=BE=t，CE=6+t，
∵AG∥BC，
∴△AGF∽△CEF，
∴AF：FC=AG：CE，
若AF：FC=1：4 则AG：EC=1：4，
∵AG=t，EC=6+t，
得t：（6+t）=1：4，
解得：t=2，
∴t=2时，AF：FC=1：4；

（3）∵△AGF∽△CEF，
∴AG：EC=AF：FC，
∵AB=AC=3

2

，
∴CE=6+t，
∴AF=

3 2 t

2t+6

，
∴S_△ADF=

1

2

AD×AF=

1

2

×

3 2

2

×

3 2 t

2t+6

=

9t

2t+6

，
∵S_△EBD=

3

2

t，
若S_△ADF：S_△EBD=1：2，
∴

9t

2t+6

：

3

2

t=1：2，
解得：t=0或3，
∵t=0时，三角形不存在，
∴t=3时，S_△ADF：S_△EBD=1：2．
解：（1）作DP⊥BC，AQ⊥BC，垂足分别为P、Q．
∵AB=3

2

，∠A=90，∠ABC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，BC=6，
∴AQ=3，
∵D是AB中点，
∴DP=

1

2

AQ=

3

2

，
∴S=

1

2

BE×DP=

1

2

t×

3

2

=

3

4

t，
∴S=

3

4

t；

（2）作AG∥BC交EF延长线于G点，
∴∠G=∠E，
∵D为中点，
∴DB=DA，
在△EBD和△GAD中，

∠E=∠G ∠EDB=∠GDA DB=DA

，
∴△EBD≌△GAD（AAS），
∴AG=BE=t，CE=6+t，
∵AG∥BC，
∴△AGF∽△CEF，
∴AF：FC=AG：CE，
若AF：FC=1：4 则AG：EC=1：4，
∵AG=t，EC=6+t，
得t：（6+t）=1：4，
解得：t=2，
∴t=2时，AF：FC=1：4；

（3）∵△AGF∽△CEF，
∴AG：EC=AF：FC，
∵AB=AC=3

2

，
∴CE=6+t，
∴AF=

3 2 t

2t+6

，
∴S_△ADF=

1

2

AD×AF=

1

2

×

3 2

2

×

3 2 t

2t+6

=

9t

2t+6

，
∵S_△EBD=

3

2

t，
若S_△ADF：S_△EBD=1：2，
∴

9t

2t+6

：

3

2

t=1：2，
解得：t=0或3，
∵t=0时，三角形不存在，
∴t=3时，S_△ADF：S_△EBD=1：2．