试题

题目：
（2009·德化县质检）如图1，△ABC为等边三角形，面积为1．D、E、F分别是△ABC三边上的点，且AD=BE=CF=
1
2
AB，连接DE，EF，FD，可得△DEF，并记△DEF的面积为S1；当AD=BE=CF=
1
3
AB时，如图2，并记△DEF的面积为S2；按照上述思路探索下去，当AD=BE=CF=
1
10
AB时，△DEF的面积S9=
73
100
73
100
．
青果学院
答案
73
100

解：当AD=BE=CF=
1
n+1
AB时，BD=CE=AF=
n
n+1
AB，
∵∠A=∠B=∠C，
∴△ADF≌△CFE≌△BED，
∴DF=EF=DE，即△DEF是等边三角形，
∴△DEF∽△ABC，
在△BDE中，BD=
n
n+1
AB，BE=
1
n+1
AB，∠B=60°，
根据余弦定理可得：DE2=BE2+BD2-2BE·BD·cos60°，即DE2=
n2-n+1
(n+1)2
AB2，
∴S△DEF：S△ABC=DE2：AB2=
n2-n+1
(n+1)2
，
∵S△ABC=1，
∴S△DEF=Sn=
n2-n+1
(n+1)2
，
当n=9时，S△DEF=S9=
73
100
．
考点梳理
等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
由于无论怎么变化，△ADF、△CFE、△BDE都全等，因此△DEF是等边三角形，由于等边三角形都相似，因此△DEF∽△ABC；可根据余弦定理求出△DEF的边长，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△DEF的面积．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质等知识．综合性较强，难度较大．
综合题；规律型．
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