试题

如图，在矩形ABCD中，连结BD，过点C作CF⊥BD于F，过点A作AE∥CF交BC延长线于E，交BD于M，CH⊥AE于H．
（1）求证：AG=CF；
（2）若M是GH中点，AG=8，求BD和CE的长．

（1）证明：∵CF⊥BD，AE∥CF，
∴∠BFC=∠AGD=90°，
∵在矩形ABCD中，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠1=∠2，
在△AGD和△CFB中，

∠AGD=∠CFB ∠1=∠2 AD=BC

，
∴△AGD≌△CFB（AAS），
∴AG=CF；

（2）解：由题意可得出：∠CFG=∠FGH=∠CHG=90°，
∴四边形GFCH是矩形，
∴FC=GH，CH=FG，
∵CH∥BD，
∴△CHM∽△DGM，
∵GM=MH，
∴DM=CM，DG=CH，
∵△AGD≌△CFB，
∴DG=BF，
∴BF=FG=DG，
∵CH∥BG，
∴

CH

BG

=

HE

GE

=

1

2

，
∴GH=HE，
∵∠1=∠2，∠AGD=∠BCD，
∴△AGD∽△DCB，
∴

AD

BD

=

DG

BC

，
设AD=y，BF=FG=DG=x，
∴

y

3x

=

x

y

，
解得：y=

3

x，
∵AD²=DG²+AG²，
∴（

3

x）²=x²+8²，
解得：x=4

2

，
∴BD=3×4

2

=12

2

，
∵HE=8，CH=4

2

，
∴EC=

HE2+HE2

=4

6

．
（1）证明：∵CF⊥BD，AE∥CF，
∴∠BFC=∠AGD=90°，
∵在矩形ABCD中，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠1=∠2，
在△AGD和△CFB中，

∠AGD=∠CFB ∠1=∠2 AD=BC

，
∴△AGD≌△CFB（AAS），
∴AG=CF；

（2）解：由题意可得出：∠CFG=∠FGH=∠CHG=90°，
∴四边形GFCH是矩形，
∴FC=GH，CH=FG，
∵CH∥BD，
∴△CHM∽△DGM，
∵GM=MH，
∴DM=CM，DG=CH，
∵△AGD≌△CFB，
∴DG=BF，
∴BF=FG=DG，
∵CH∥BG，
∴

CH

BG

=

HE

GE

=

1

2

，
∴GH=HE，
∵∠1=∠2，∠AGD=∠BCD，
∴△AGD∽△DCB，
∴

AD

BD

=

DG

BC

，
设AD=y，BF=FG=DG=x，
∴

y

3x

=

x

y

，
解得：y=

3

x，
∵AD²=DG²+AG²，
∴（

3

x）²=x²+8²，
解得：x=4

2

，
∴BD=3×4

2

=12

2

，
∵HE=8，CH=4

2

，
∴EC=

HE2+HE2

=4

6

．