试题

梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=α（0°＜α＜90°），AB=DC=3，BC=5．点P为射线BC上动点（不与点B、C重合），点E在直线DC上，且∠APE=α．记∠PAB=∠1，∠EPC=∠2，BP=x，CE=y．
（1）当点P在线段BC上时，写出并证明∠1与∠2的数量关系；
（2）随着点P的运动，（1）中得到的关于∠1与∠2的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x的取值范围；
（3）若cosα=

1

3

，试用x的代数式表示y．

（1）∠1=∠2
证明：∵∠APC=∠ABC+∠1，又∠APC=∠APE+∠2，
∴∠ABC+∠1=∠APE+∠2，
∵∠ABC=α=∠APE，∴∠1=∠2
（2）会改变，当点P在BC延长线上时，即x＞5时
∠1与∠2的数量关系不同于（1）的数量关系．
解：∵∠APE=α=∠ABC，∴∠APB=α-∠2，-------------------（1分）
∵∠ABC+∠BAP+∠APB=180°，∴α+∠1+α-∠2=180°，----（1分）
∴∠1-∠2=180°-2α．-------------------------------------------------（1分）

（3）①当点P在线段BC上时，
∵∠1=∠2，∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE，-------------------------------------------------------（1分）
∴

AB

PC

=

BP

CE

，------------------------------------------------------------（1分）
即

3

5-x

=

x

y

，∴y=

5

3

x-

1

3

x2．------------------------------------（2分）
②当点P在线段BC的延长线上时，
可得△EPC∽△EGP，∴EP²=EC·EG--------------------------（1分）
作AM∥CD．
∵AB=3，cosα=

1

3

，
∴BM=2．
∴GC=

3

x-2

(x-5)
作EK⊥BP，由cosα=

1

3

得CK=

1

3

y，KE=

2 2

3

y，∴KP=x-5-

1

3

y
∴EP2=(

2 2

3

y)2+(x-5-

1

3

y)2，
于是y(y+

3(x-5)

x-2

)=(

2 2

3

y)2+(x-5-

1

3

y)2
即y2+

3

x-2

(x-5)y=

8

9

y2+(x-5)2-

2

3

(x-5)y+

1

9

y2
亦即y=

3x2-21x+30

2x+5

-----------------------------------------------（2分）
（1）∠1=∠2
证明：∵∠APC=∠ABC+∠1，又∠APC=∠APE+∠2，
∴∠ABC+∠1=∠APE+∠2，
∵∠ABC=α=∠APE，∴∠1=∠2
（2）会改变，当点P在BC延长线上时，即x＞5时
∠1与∠2的数量关系不同于（1）的数量关系．
解：∵∠APE=α=∠ABC，∴∠APB=α-∠2，-------------------（1分）
∵∠ABC+∠BAP+∠APB=180°，∴α+∠1+α-∠2=180°，----（1分）
∴∠1-∠2=180°-2α．-------------------------------------------------（1分）

（3）①当点P在线段BC上时，
∵∠1=∠2，∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCE，-------------------------------------------------------（1分）
∴

AB

PC

=

BP

CE

，------------------------------------------------------------（1分）
即

3

5-x

=

x

y

，∴y=

5

3

x-

1

3

x2．------------------------------------（2分）
②当点P在线段BC的延长线上时，
可得△EPC∽△EGP，∴EP²=EC·EG--------------------------（1分）
作AM∥CD．
∵AB=3，cosα=

1

3

，
∴BM=2．
∴GC=

3

x-2

(x-5)
作EK⊥BP，由cosα=

1

3

得CK=

1

3

y，KE=

2 2

3

y，∴KP=x-5-

1

3

y
∴EP2=(

2 2

3

y)2+(x-5-

1

3

y)2，
于是y(y+

3(x-5)

x-2

)=(

2 2

3

y)2+(x-5-

1

3

y)2
即y2+

3

x-2

(x-5)y=

8

9

y2+(x-5)2-

2

3

(x-5)y+

1

9

y2
亦即y=

3x2-21x+30

2x+5

-----------------------------------------------（2分）