试题

题目：
青果学院正方形ABCD中，E，F分别是AB与BC边上的中点，连接AF，DE，BD，交于G，H（如图所示）．求AG：GH：HF的值．
答案
青果学院解：如图，延长DE、CB交于点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC=AB，
∵点E是AB的中点，点F是BC的中点，则FM=
3
2
AD．
∴AE=BE，BF=
1
2
BC=
1
2
AD．
易证△AED∽△BME，
∴
AE
BE
=
AD
BM
．
∴
AD
BM
=1，即AD=MB．
同理，△AGD∽△FBG，则
AD
FM
=
AG
FG
，即
AD
3
2
AD
=
AG
FG
，∴AG=
2
3
FG．
设AG=2a，则FG=3a，AF=5a．
同理△AHD∽△FBH，则
AD
BF
=
AH
FH
，即2=
AH
FH
，
∴AH=2FH，
∴AH=
10
3
a，FH=
5
3
a，
∴GH=AH-AG=
4
3
a，
∴AG：GH：HF=2a：
4
3
a：
5
3
a=6：4：5．
青果学院解：如图，延长DE、CB交于点M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC=AB，
∵点E是AB的中点，点F是BC的中点，则FM=
3
2
AD．
∴AE=BE，BF=
1
2
BC=
1
2
AD．
易证△AED∽△BME，
∴
AE
BE
=
AD
BM
．
∴
AD
BM
=1，即AD=MB．
同理，△AGD∽△FBG，则
AD
FM
=
AG
FG
，即
AD
3
2
AD
=
AG
FG
，∴AG=
2
3
FG．
设AG=2a，则FG=3a，AF=5a．
同理△AHD∽△FBH，则
AD
BF
=
AH
FH
，即2=
AH
FH
，
∴AH=2FH，
∴AH=
10
3
a，FH=
5
3
a，
∴GH=AH-AG=
4
3
a，
∴AG：GH：HF=2a：
4
3
a：
5
3
a=6：4：5．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
如图，延长DE、CB交于点M．易证得AD=BM．通过△AED∽△BME的对应边成比例得到
AE
BE
=
AD
BM
，即AD=MB．同理，△AGD∽△FBG，则
AD
FM
=
AG
FG
，所以AG=
2
3
FG．故设AG=2a，则FG=3a，AF=5a．同理△AHD∽△FBH，则
AD
BF
=
AH
FH
，所以AH=2FH，则AH=
10
3
a，FH=
5
3
a，GH=AH-AG=
4
3
a，故AG：GH：HF=2a：
4
3
a：
5
3
a=6：4：5．
本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
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