试题

题目：
青果学院已知：如图，在△ABC中，E是BC的中点，D在AC边上，若AC长是1，且∠BAC=60°，∠ABC=100°，∠DEC=80°，求S△ABC+2S△CDE．
答案
青果学院解：S△ABC+2S△CDE=
3
8
．
（1）如图：过C作AB的垂线交AB的延长线于G，
∵E是BC的中点，∴BE=CE=GE，
∴∠GBC=∠BGE=80°．
∵∠ABC=100°，∠DEC=80°，∠A=60°，
∴∠BCA=20°，∠EDC=80°．
∴△CDE≌△EBG，
∴S△BGE=S△DEC，
∵E是BC的中点，
∴S△BGC=2S△BGE，
∴2S△CDE=S△CBG，
∴S△ABC+2S△CDE=S△ABC+S△CBG
=S△CGA=
1
2
AG·CG
=
3
8
．
这是构成直角三角形的解法；
青果学院
（2）如图：以AC为一边，∠BAC为-内角，构成正△ACG．
作∠GCB的平分线交GA于F，
则S△GAC=
1
2
AC2·sin60°=
3
4
．
可证△BAC≌△FGC，△CED∽△CBF．
∵CE=
1
2
BC，
∴S△CED=
1
4
S△CFB，
∴S△ABC+2S△CDE=S△ABC+
1
2
S△CFB=
1
2
S△CGA=
3
8
．
青果学院解：S△ABC+2S△CDE=
3
8
．
（1）如图：过C作AB的垂线交AB的延长线于G，
∵E是BC的中点，∴BE=CE=GE，
∴∠GBC=∠BGE=80°．
∵∠ABC=100°，∠DEC=80°，∠A=60°，
∴∠BCA=20°，∠EDC=80°．
∴△CDE≌△EBG，
∴S△BGE=S△DEC，
∵E是BC的中点，
∴S△BGC=2S△BGE，
∴2S△CDE=S△CBG，
∴S△ABC+2S△CDE=S△ABC+S△CBG
=S△CGA=
1
2
AG·CG
=
3
8
．
这是构成直角三角形的解法；
青果学院
（2）如图：以AC为一边，∠BAC为-内角，构成正△ACG．
作∠GCB的平分线交GA于F，
则S△GAC=
1
2
AC2·sin60°=
3
4
．
可证△BAC≌△FGC，△CED∽△CBF．
∵CE=
1
2
BC，
∴S△CED=
1
4
S△CFB，
∴S△ABC+2S△CDE=S△ABC+
1
2
S△CFB=
1
2
S△CGA=
3
8
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；直角三角形的性质．
△ABC和△CDE都是一般斜三角形，直接根据已知条件不易求得结果，但是由于△ABC中AC已知，且∠BAC=60°，若以AC为一边和以∠BAC为-内角构成直角三角形或一个等边三角形，则这两种三角形面积都能求．
本题通过构造三角函数和等边三角形可以求解，利用直角三角形和等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质求解．
计算题．
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