试题

如图1，正方形ABCD的对角线相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，MN、MQ分别交正方菜ABCD的边于E、F两 点．
（1）试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．
（2）若将题中的“正方形MNPQ与正方形ABCD”改为“矩形MNPQ与矩形ABCD”，且BC=2AB，其他条件不变，当矩形MNPQ与矩形ABCD的位置如图2所示时，请判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明．

（1）解：ME=MF．理由如下：
如图1，过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H．
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为正方形对角线AC、BD的交点，∴MG=MH．
又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，
∴∠1=∠2．
在△MGE和△MHF中，

∠1=∠2 MG=MH ∠MGE=∠MHF

，
∴△MGE≌△MHF（ASA）．
∴ME=MF．

（2）解：

ME

MF

=

1

2

．理由如下：
如图2，过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H．
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，
∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．
∴∠1=∠2．
在△MGE和△MHF中，
∠1=∠2
∠MGE=∠MHF
∴△MGE∽△MHF．
∴

ME

MF

=

MG

MH

．
∵M为矩形对角线AB、AC的交点，
∴MB=MD=MC
又∵MG⊥BC，MH⊥CD，
∴点G、H分别是BC、DC的中点．
∵BC=2AB=4，
∴MG=

1

2

AB，MH=

1

2

BC．
∴

ME

MF

=

1

2

．
（1）解：ME=MF．理由如下：
如图1，过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H．
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为正方形对角线AC、BD的交点，∴MG=MH．
又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°，
∴∠1=∠2．
在△MGE和△MHF中，

∠1=∠2 MG=MH ∠MGE=∠MHF

，
∴△MGE≌△MHF（ASA）．
∴ME=MF．

（2）解：

ME

MF

=

1

2

．理由如下：
如图2，过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥CD于点H．
∴∠MGE=∠MHF=90°．
∵M为矩形对角线AC、BD的交点，
∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90°．
∴∠1=∠2．
在△MGE和△MHF中，
∠1=∠2
∠MGE=∠MHF
∴△MGE∽△MHF．
∴

ME

MF

=

MG

MH

．
∵M为矩形对角线AB、AC的交点，
∴MB=MD=MC
又∵MG⊥BC，MH⊥CD，
∴点G、H分别是BC、DC的中点．
∵BC=2AB=4，
∴MG=

1

2

AB，MH=

1

2

BC．
∴

ME

MF

=

1

2

．