试题

题目：
如图所示：直线MN⊥RS于点O，点B在射线OS上，OB=2，点C在射线ON上，OC=2，点E是射线OM上一动点，连接EB，过O作OP⊥EB于P，连接CP，过P作PF⊥PC交射线OS于F．
青果学院
（1）求证：△POC∽△PBF．
（2）当OE=1，OE=2时，BF的长分别为多少？当OE=n时，BF=
4
n
4
n
．
（3）当OE=1时，S△EBF=S1；OE=2时，S△EBF=S2；…，OE=n时，S△EBF=Sn．则S1+S2+…+Sn=
2n
2n
．（直接写出答案）
答案
4
n

2n

解：（1）证明：∵∠OPB=∠CPF
∴∠OPC=∠BPF，
∵∠EOP=∠EOB=90，
∴∠EOP=∠OBP
∴∠POC=∠PBF
∴△POC∽△PBF；                 

（2）根据△POC∽△PBF
∴
OC
BF
=
PO
PB
，
∵△OPB∽△EOB
∴
PO
PB
=
OE
OB
，
∴
OC
BF
=
OE
OB
，
∴OE·BF=OC·OB=4                      
∴当OE=1时，BF=4；
当OE=2时，BF=2，
当OE=n时，BF=
4
n
；

（3）根据题意得；
S1+S2+…+Sn=2n；
故答案为：2n．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形的面积．
（1）根据∠OPB=∠CPF，得出∠OPC=∠BPF，再根据∠EOP=∠EOB=90，得出∠EOP=∠OBP，∠POC=∠PBF，即可证出△POC∽△PBF；                
（2）根据△POC∽△PBF，得出
OC
BF
=
PO
PB
，再根据△OPB∽△EOB，得出OE·BF=OC·OB=4，即可求出BF的长；
（3）根据已知条件当OE=1时，S△EBF=S1；OE=2时，S△EBF=S2；…，OE=n时，S△EBF=Sn即可求出S1+S2+…+Sn=2n；
此题考查了相似三角形的判定与性质；解题的关键是根据相似三角形的判定与性质进行解答，此题是一个综合题，难度适中．
规律型．
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