如图，在直角坐标系中，已知P0的坐标为（1，0），将线段OP0绕O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的3倍，得到线段OP1；又将线段OP1绕O点按逆时针方向旋转45°-青果题库-青果学院

题目：

（2010·南浔区模拟）如图，在直角坐标系中，已知P₀的坐标为（1，0），将线段OP₀绕O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的3倍，得到线段OP₁；又将线段OP₁绕O点按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的3倍，得到线段OP₂；如此下去，得到线段OP₃，OP₄，…，Op_n（n为正整数），则△P₂₀₀₉OP₂₀₁₀的面积

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．

答案

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解：OP₁=3OP=3×1=3，
同理OP₂=30P₁=3×3×1=3²，
OP₃=3OP₂=3³，
…
OP₂₀₀₉=3²⁰⁰⁹，OP₂₀₁₀=3²⁰¹⁰，
∵360°÷45°=8，
即经过8次P₈落在x轴的正半轴上，
∴2010÷8=251…2，
即OP₂₀₁₀在y轴上，OP₂₀₀₉在第一象限角的平分线上，
如图：过P₂₀₀₉作P₂₀₀₉C⊥y轴于C，
由勾股定理求出P₂₀₀₉C=

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，
∴△OP₂₀₀₉P₂₀₁₀的面积是

1

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×OP₂₀₁₀×CP₂₀₁₀=

1

2

×3²⁰¹⁰×

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2

=