试题

题目：
（2011·金东区模拟）如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△E1B2D2的面积为S1，△E2B3D3的面积为S2，…，△EnBn+1Dn+1的面积为Sn，则S1=
3
6
3
6
，Sn=
3
(n+1)(n+2)
3
(n+1)(n+2)
．
青果学院
答案
3
6

3
(n+1)(n+2)

青果学院解：∵等边三角形的边长为2，
∴等边三角形的高为2×
3
2
=
3
，
如图，连接B1Bn+1，则B1Bn+1为n个边长为2的等边三角形的一边所在的直线，
∴B1Bn+1∥ACn，
∴△AC1E1∽△B3B2E1，△AC2D2∽△B3B2D2，
∴
E1B2
E1C1
=
B3B2
AC1
=
2
2
=1，
B2D2
C2D2
=
B3B2
AC2
=
2
4
=
1
2
，
∴
E1B2
B2C1
=
1
1+1
=
1
2
，B2D2=2×
1
1+2
=
2
3
，
∴点E1到B2D2的距离=
1
2
×
3
=
3
2
，
∴S1=
1
2
B2D2·
3
2
=
1
2
·
2
3
·
3
2
=
3
6
；
同理可求，点E2到B3D3的距离=
1
1+2
×
3
=
3
3
，
…，
点En到Bn+1Dn+1的距离=
1
n+1
×
3
=
3
n+1
，
B3D3=2×
1
1+3
=
2
4
，
…，
Bn+1Dn+1=2×
1
1+(n+1)
=
2
n+2
，
∴Sn=
1
2
·
2
n+2
·
3
n+1
=
3
(n+1)(n+2)
．
故答案为：
3
6
；
3
(n+1)(n+2)
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
根据等边三角形的性质求出等边三角形的高，连接B1Bn+1，可得B1Bn+1为n个边长为2的等边三角形的一边所在的直线，然后根据相似三角形对应边成比例求出
E1B2
B2C1
，B2D2，再根据等边三角形的性质求出点E1到B2D2的距离，然后利用三角形的面积公式求出S1，依此类推求出EnBn+1、Bn+1Dn+1，再求出点En到Bn+1Dn+1的距离，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，作辅助线得到平行线从而得到相似三角形是解题的关键．
规律型．
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