试题

题目：
青果学院（2011·延庆县二模）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2 C2C1…按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为
5(
3
2
)4
5(
3
2
)4
；第n个正方形的面积为
5(
3
2
)2n-2
5(
3
2
)2n-2
（用含n的代数式表示）．
答案
5(
3
2
)4

5(
3
2
)2n-2

解：设正方形的面积分别为S1，S2…，Sn，
根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，
∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x（同位角相等）．
∵∠ABA1=∠A1B1A2=∠A2B2x=90°，
∴△BAA1∽△B1A1A2，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD=
5
，tan∠ADO=
OA
OD
=
1
2
，
∵tan∠BAA1=
BA1
AB
=tan∠ADO，青果学院
∴BA1=
1
2
AB=
5
2
，
∴CA1=
5
+
5
2
，
同理，得：C1A2=
5
2
×（1+
1
2
）
由正方形的面积公式，得：S1=（
5
）2，
S2=（
5
）2×（1+
1
2
）2，
S3=（
5
）2×（1+
1
2
）4=5×（
3
2
）4，
由此，可得Sn=（
5
）2×（1+
1
2
）2（n-1）=5×（
3
2
）2n-2．
故答案为：5×（
3
2
）4，5×（
3
2
）2n-2．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质．
根据相似三角形的判定原理，得出△AA1B∽△A1A2B1，继而得知∠BAA1=∠B1A1A2；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算三个正方形的面积，从中找出规律．
此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识．解此题的关键是找到规律Sn=（
5
）2×（1+
1
2
）2（n-1）=5×（
3
2
）2n-2．
规律型．
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