试题

如图，在线段AB上找一点C．已知AD⊥AB，EB⊥AB．现连接DC、EC．若DC⊥CE．
（1）求证：△DAC∽△CBE．
（2）若C为AB中点且以DC、CE为两边作一矩形DCEF，并连接FC．求证：FC⊥AB．

证明：（1）∵AD⊥AB，
∴∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
又∵DC⊥CE，
∴∠DCE=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠ADC=∠BCE，
由EB⊥BA，得到∠B=90°，
∴∠A=∠B，
∴△DAC∽△CBE；

（2）连接DE，与FG交于M，
∵四边形DCEF为矩形，
∴M为DE中点，
∵C为AB中点，
∴AC=BC，
∴CM为梯形ABED的中位线，
∴CM∥AD，又∠A=90°，
∴∠ACM=90°，即FC⊥AB．
证明：（1）∵AD⊥AB，
∴∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
又∵DC⊥CE，
∴∠DCE=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠ADC=∠BCE，
由EB⊥BA，得到∠B=90°，
∴∠A=∠B，
∴△DAC∽△CBE；

（2）连接DE，与FG交于M，
∵四边形DCEF为矩形，
∴M为DE中点，
∵C为AB中点，
∴AC=BC，
∴CM为梯形ABED的中位线，
∴CM∥AD，又∠A=90°，
∴∠ACM=90°，即FC⊥AB．