试题

点D为Rt△ABC的斜边AB上一点，点E在AC上，连接DE，CD，且∠ADE=∠BCD，CF⊥CD交DE的延长线于点F，连接AF
（1）如图1，若AC=BC，求证：AF⊥AB；
（2）如图2，若AC≠BC，当点D在AB上运动时，求证：AF⊥AB．

证明：（1）∵∠ADE=∠BCD，
∴∠FDC=∠B=45°，
∴CD=CF，
∴△CDB≌△CAF，
∴∠CAF=45°，
∴AF⊥AB；

（2）∵∠ADE=∠BCD，
∠ACD+∠DCB=90°，
∠DCA+∠ACF=90°，
∴∠ACF=∠BCD=∠ADF，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠BAC=∠CFD，
∵∠ACB=∠DCF=90°，
∴△ACB∽△FDC，
∴

BC

CD

=

AC

CF

，
∴△BCD∽△ACF，
∴∠B=∠CAF，
∴AF⊥AB．
证明：（1）∵∠ADE=∠BCD，
∴∠FDC=∠B=45°，
∴CD=CF，
∴△CDB≌△CAF，
∴∠CAF=45°，
∴AF⊥AB；

（2）∵∠ADE=∠BCD，
∠ACD+∠DCB=90°，
∠DCA+∠ACF=90°，
∴∠ACF=∠BCD=∠ADF，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠BAC=∠CFD，
∵∠ACB=∠DCF=90°，
∴△ACB∽△FDC，
∴

BC

CD

=

AC

CF

，
∴△BCD∽△ACF，
∴∠B=∠CAF，
∴AF⊥AB．