试题

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=

3

2

，D为AB边上一点，DE⊥CD于D，交直线AC于E，过点A作AF⊥AB交直线DE于F．
（1）如图（1），求证：△AEF∽△BCD；
（2）如图（2），若CD=DF，求

EF

CD

的值；
（3）如图（3），若将题干中的点D的位置改为在BA的延长线上，其他的条件不变，且满足CD=DF，AB=13cm．请直接写出此时AE=cm．

（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠CDF=90°，
∴∠1+∠CED=90°，
∴∠2=∠CED，
∵∠CED=∠FEA，
∴∠FEA=∠2，
∵∠3+∠4=90°，
∠4+∠F=90°，
∠F=∠3，
∴△AEF∽△BCD；

（2）解：过C点作AB边垂线，垂足为M．
设BM=a，DM=b，则CM=a·tanB=1.5a．
AM=CM·tanB=2.25a，
∵∠DMC+∠FDA=90°，
∠MDC+∠MCD=90°，
∴∠MCD=∠FDA，
∵CD=DF，∠CMD=∠DAF=90°，
∴△CMD≌△DAF，
所以AD=CM=1.5a，
所以AM=AD+MD=1.5a+b=2.25a，
所以b=0.75a，
∴DF=CD=

3 3

4

a，
∴AF=

3

4

a，BD=a+0.75a，
∴

AF

BD

=

EF

CD

=

3

7

，

则

EF

CD

=

3

7

；

（3）解：证出△BCD∽△AEF，
∵CD=DF，AB=13cm，
∴AE=

30 13

19

．
故答案为：

30 13

19

．