试题

题目：
青果学院如图，△ABC是等边三角形，且AB∥CE．
（1）求证：△ABD∽△CED；
（2）若AB=6，AD=2CD，
①求E到BC的距离EH的长．
②求BE的长．
答案
解；青果学院（1）∵AB∥CE，
∴∠A=∠DCE，
又∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△CED；

（2）①过点E作EH⊥BF于点H，
∵△ABC是等边三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，
∴
AB
CE
=
AD
CD
=
2
1
，∠A=∠ACB=60°，
∴CE=3，
∵AB∥CE，
∴∠A=∠DCE=60°，
∴∠ECH=180°-∠ACB-∠DCE=180°-60°-60°=60°，
∴EH=CE·sin60°=3×
3
2
=
3
3
2
；
②在Rt△ECH中，
∵∠ECH=60°，CE=3，
∴CH=CE·cos60°=3×
1
2
=
3
2
，
∴BH=BC+CH=6+
3
2
=
15
2
，
∴BE=
EH2+BH2
=
(
3
3
2
)2+(
15
2
)2
=3
7
．
解；青果学院（1）∵AB∥CE，
∴∠A=∠DCE，
又∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△CED；

（2）①过点E作EH⊥BF于点H，
∵△ABC是等边三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，
∴
AB
CE
=
AD
CD
=
2
1
，∠A=∠ACB=60°，
∴CE=3，
∵AB∥CE，
∴∠A=∠DCE=60°，
∴∠ECH=180°-∠ACB-∠DCE=180°-60°-60°=60°，
∴EH=CE·sin60°=3×
3
2
=
3
3
2
；
②在Rt△ECH中，
∵∠ECH=60°，CE=3，
∴CH=CE·cos60°=3×
1
2
=
3
2
，
∴BH=BC+CH=6+
3
2
=
15
2
，
∴BE=
EH2+BH2
=
(
3
3
2
)2+(
15
2
)2
=3
7
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
（1）先根据平行线的性质得出∠A=∠DCE，再由相似三角形的判定定理即可得出结论；
（2）①过点E作EH⊥BF于点H，由AB=6，AD=2CD可得出CE的长，再根据∠A=∠DCE可得出∠ECH的度数，由锐角三角函数的定义即可得出结论；
②由锐角三角函数的定义求出CH的长，再根据勾股定理得出BE的长即可．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的性质及锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
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