试题

如图，已知ED∥BC，∠EAB=∠BCF，
（1）四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证：OB²=OE·OF；
（3）连接OD，若∠OBC=∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．

解：（1）∵DE∥BC，
∴∠D=∠BCF，
∵∠EAB=∠BCF，
∴∠EAB=∠D，
∴AB∥CD，
∵DE∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；

（2）∵DE∥BC，
∴

OB

OE

=

OC

OA

，
∵AB∥CD，
∴

OC

OA

=

OF

OB

，
∴

OB

OA

=

OF

OB

，
∴OB²=OE·OF；

（3）连接BD，交AC于点H，
∵DE∥BC，
∴∠OBC=∠E，
∵∠OBC=∠ODC，
∴∠ODC=∠E，
∵∠DOF=∠DOE，
∴△ODF∽△OED，
∴

OD

OE

=

OF

OD

，
∴OD²=OE·OF，
∴OB²=OF·OE，
∴OB=OD，
∵平行四边形ABCD中BH=DH，
∴OH⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形．
解：（1）∵DE∥BC，
∴∠D=∠BCF，
∵∠EAB=∠BCF，
∴∠EAB=∠D，
∴AB∥CD，
∵DE∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；

（2）∵DE∥BC，
∴

OB

OE

=

OC

OA

，
∵AB∥CD，
∴

OC

OA

=

OF

OB

，
∴

OB

OA

=

OF

OB

，
∴OB²=OE·OF；

（3）连接BD，交AC于点H，
∵DE∥BC，
∴∠OBC=∠E，
∵∠OBC=∠ODC，
∴∠ODC=∠E，
∵∠DOF=∠DOE，
∴△ODF∽△OED，
∴

OD

OE

=

OF

OD

，
∴OD²=OE·OF，
∴OB²=OF·OE，
∴OB=OD，
∵平行四边形ABCD中BH=DH，
∴OH⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形．