如图，正方形ABCD中，点E是AB上一点，DE的延长线交CB的延长线于F，连接FA交CD的延长线于G，连接CE交DA的延长线于H；（1）若点E是AB的中点，写出所有与AH相等的线段-青果题库-青果学院

题目：

如图，正方形ABCD中，点E是AB上一点，DE的延长线交CB的延长线于F，连接FA交CD的延长线于G，连接CE交DA的延长线于H；
（1）若点E是AB的中点，写出所有与AH相等的线段，并选其中一条证明；
（2）若点E不是AB的中点，判断（1）中仍与AH相等的线段青果学院

并证明．

答案

解：（1）AH=AD=AB=BC=CD=GD，
选择AH=BC说明，理由为：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DH∥CF，
∴∠H=∠BCE，∠EAH=∠EBC，
又点E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEH和△BEC中，

∠H=∠BCE

∠EAH=∠EBC

AE=BE

，
∴△AEH≌△BEC，
∴AH=BC；
（2）AH=GD，理由为：
∵四边形ABCD为正方形，
∴HD∥FC，
∴∠H=∠ECB，∠HAE=∠EBC，
∴△AEH∽△BEC，
∴

AH

BC

=

AE

BE

，
同理△AED∽△BEF，
∴

AE

BE

=

AD

BF

，
∴

AH

BC

=

AD

BF

，
∵AD∥FC，
∴∠GAD=∠GFC，∠GDA=∠GCF，
∴△AGD∽△FGC，
∴

GD

GC

=

AD

FC

，即

GC

GD

=

FC

AD

，
∴

GC-GD

GD

=

FC-AD

AD

=

FC-BC

AD

，即

CD

GD

=

FB

AD

，
∴

GD

CD

=

AD

FB

，
∴

AH

BC

=

GD

CD

，又BC=CD，
则AH=GD．
解：（1）AH=AD=AB=BC=CD=GD，
选择AH=BC说明，理由为：
∵四边形ABCD是正方形，
∴DH∥CF，
∴∠H=∠BCE，∠EAH=∠EBC，
又点E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEH和△BEC中，