试题

如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E
（1）求证：△AEP∽△DPC；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，设DP=x，BE=y，求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．

解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D，
∴∠AEP+∠APE=90°，
∵PE⊥PC
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△AEP∽△DPC；

（2）设DP=x，BE=y，则AE=2-y，AP=3-x，
∵△AEP∽△DPC
∴

DC

AP

=

PD

AE

，
即：

2

3-x

=

x

2-y

，
整理得：y=

1

2

x²-

3

2

x+2（0＜x＜3）．
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D，
∴∠AEP+∠APE=90°，
∵PE⊥PC
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△AEP∽△DPC；

（2）设DP=x，BE=y，则AE=2-y，AP=3-x，
∵△AEP∽△DPC
∴

DC

AP

=

PD

AE

，
即：

2

3-x

=

x

2-y

，
整理得：y=

1

2

x²-

3

2

x+2（0＜x＜3）．