试题

如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，求点E的坐标；
（2）若AB平分∠EBP时，求t的值；
（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）当t=2时，PC=2，
∵BC=2，
∴PC=BC，
∴∠PBC=45°，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=45°，
∴AB=AE=3，

∴OE=5

，
∴点E的坐标是（5，0）；

（2）当AB平分∠EBP时，
∠PBF=45°，
则∠CBP=∠CPB=45°，

∴CP=CB=2

，
∴t=2；

（3）存在，
∵∠ABE+∠ABP=90°，
∠PBC+∠ABP=90°，
∴∠ABE=∠PBC，
∵∠BAE=∠BCP=90°，
∴△BCP∽△BAE，
∴

BC

AB

=

PC

AE

，
∴

t

AE

=

2

3

，
∴AE=

3

2

t，
∵若△POE∽△PCB，
∴

BC

OE

=

PC

PO

，
∴

2

2+ 3 2 t

=

t

3-t

，
∴t₁=

-4+2 13

3

，
t₂=

-4-2 13

3

（舍去），
∴P的坐标为（0，

13-2 13

3

）．
解：（1）当t=2时，PC=2，
∵BC=2，
∴PC=BC，
∴∠PBC=45°，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=45°，
∴AB=AE=3，

∴OE=5

，
∴点E的坐标是（5，0）；

（2）当AB平分∠EBP时，
∠PBF=45°，
则∠CBP=∠CPB=45°，

∴CP=CB=2

，
∴t=2；

（3）存在，
∵∠ABE+∠ABP=90°，
∠PBC+∠ABP=90°，
∴∠ABE=∠PBC，
∵∠BAE=∠BCP=90°，
∴△BCP∽△BAE，
∴

BC

AB

=

PC

AE

，
∴

t

AE

=

2

3

，
∴AE=

3

2

t，
∵若△POE∽△PCB，
∴

BC

OE

=

PC

PO

，
∴

2

2+ 3 2 t

=

t

3-t

，
∴t₁=

-4+2 13

3

，
t₂=

-4-2 13

3

（舍去），
∴P的坐标为（0，

13-2 13

3

）．