试题

如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC的方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于点D，作DE⊥AC于点E．F为射线CB上一点，使得∠CEF=∠ABC．设点P运动的时间为x秒．
（1）用含有x的代数式表示CE的长．
（2）求点F与点B重合时x的值．
（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．

解：（1）∵∠C=90°，PD⊥BC，
∴DP∥AC，
∴△DBP∽△ABC，四边形PDEC为矩形，
∴

PD

CA

=

PB

CB

，CE=PD．
∴PD=

CA×PB

CB

=

30×4x

20

=6x．
∴CE=6x；

（2）∵∠CEF=∠ABC，∠C为公共角，
∴△CEF∽△CBA，
∴

CF

CA

=

CE

CB

．
∴CF=

CA×CE

CB

=

30×6x

20

=9x．
当点F与点B重合时，CF=CB，9x=20．
解得x=

20

9

．

（3）当点F与点P重合时，BP+CF=CB，4x+9x=20，
解得x=

20

13

．
当0＜x＜

20

13

时，如图①，

y= PD(PF+DE) 2 = 6x(20-13x+20-4x) 2

=-51x²+120x．
当

20

13

≤x≤

20

9

时，如图②，
y=

1

2

DE×DG
=

1

2

(20-4x)·

2

3

(20-4x)=

1

3

（20-4x）²．
（或y=

16

3

x2-

160

3

x+

400

3

）．
解：（1）∵∠C=90°，PD⊥BC，
∴DP∥AC，
∴△DBP∽△ABC，四边形PDEC为矩形，
∴

PD

CA

=

PB

CB

，CE=PD．
∴PD=

CA×PB

CB

=

30×4x

20

=6x．
∴CE=6x；

（2）∵∠CEF=∠ABC，∠C为公共角，
∴△CEF∽△CBA，
∴

CF

CA

=

CE

CB

．
∴CF=

CA×CE

CB

=

30×6x

20

=9x．
当点F与点B重合时，CF=CB，9x=20．
解得x=

20

9

．

（3）当点F与点P重合时，BP+CF=CB，4x+9x=20，
解得x=

20

13

．
当0＜x＜

20

13

时，如图①，

y= PD(PF+DE) 2 = 6x(20-13x+20-4x) 2

=-51x²+120x．
当

20

13

≤x≤

20

9

时，如图②，
y=

1

2

DE×DG
=

1

2

(20-4x)·

2

3

(20-4x)=

1

3

（20-4x）²．
（或y=

16

3

x2-

160

3

x+

400

3

）．