试题

题目：
青果学院（2012·泰顺县模拟）如图，正方形ABCD中，AB=1，BC为⊙O的直径，P是AD边上一点，BP交⊙O于点F，CF的延长线交AB于点E，连接PE．若CF=2EF，则PF的长为
3
6
-2
3
6
3
6
-2
3
6
．
答案
3
6
-2
3
6

解：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BFC=90°，
即BF⊥EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=1，∠ABC=∠A=90°，
∴AB是⊙O的切线，
∴∠ABP=∠FCB，
在△ABP和△BCE中，
∵
∠A=∠EBC
AB=BC
∠ABP=∠ECB
，
∴△ABP≌△BCE（ASA），
∴BP=EC，
∵∠EBC=∠CFB=90°，∠EBF=∠FCB，
∴△CEB∽△CBF，
∴
BC
CF
=
CE
BC
，
∵CF=2EF，
∴
1
2EF
=
3EF
1
，
∴EF=
6
6
，
∴CF=2EF=
6
3
，EC=3EF=
6
2
，
∴BP=
6
2
，
在Rt△BCF中，BF=
BC2-CF2
=
3
3
，
∴PF=BP-BF=
6
2
-
3
3
=
3
6
-2
3
6
．
故答案为：
3
6
-2
3
6
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理．
由BC为⊙O的直径，正方形ABCD，易证得AB是⊙O的切线，由弦切角定理，可得∠ABP=∠FCB，易证得△ABP≌△BCE，△CEB∽△CBF，即可得CE=BP，
BC
CF
=
CE
BC
，又由AB=1，CF=2EF，可求得EF，CF，CE的长，然后由勾股定理可求得BF的长，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想的应用．
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