试题

题目：
青果学院（2012·香坊区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，AD平分∠BAC，BD：CD=3：5，点E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F，则BF=
6
6
．
答案
6

青果学院解：过点D作DM⊥AC与M，过点E作EN⊥AB于N，
∵AD平分∠BAC，∠ABC=90°，
∴DM=BD，EN∥BC，
∵BD：CD=3：5，
∴DM：CD=3：5，
∴在Rt△CDM中，sin∠C=
3
5
，tan∠C=
3
4
，
∵AB=4，
∴AC=
AB
sin∠C
=
20
3
，BC=
AB
tan∠C
=
16
3
，
∵点E为AC的中点，
∴AE=
1
2
AC，
∵EN∥BC，
∴EN=
1
2
BC=
8
3
，AN=BN=
1
2
AB=2，
∵BD=
3
8
BC=2，
∵BD∥EN，
∴△FBD∽△FNE，
∴
BF
NF
=
BD
EN
，即
BF
BF+2
=
2
8
3
，
解得：BF=6．
故答案为：6．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；三角形中位线定理．
首先过点D作DM⊥AC与M，过点E作EN⊥AB于N，由AD平分∠BAC，∠ABC=90°，根据角平分线的性质，易得DM=DB，继而求得∠C的三角函数的值，又由AB=4，即可求得AC，BC的值，由点E为AC的中点，则可得EN是△ABC的中位线，则可求得AN=BN=2，EN=
1
2
BC，然后由△FBD∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、角平分线的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
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