试题

题目：
青果学院（2013·本溪一模）如图所示，正方形ABCD中，点P是边AB上一点，将一个直角三角板的直角顶点与点P重合，并保证其一条直角边始终经过点C，另一条直角边与AD交于点Q，若
AP
AB
=
1
2
时，则
AQ
BC
=
1
4
1
4
；若
AP
AB
=
1
n
时，则
AQ
BC
=
n-1
n2
n-1
n2
．
答案
1
4

n-1
n2

解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，BC=AB．
设AP=k．
（1）∵
AP
AB
=
1
2
，
∴BC=AB=2k，BP=k．
在△AQP与△BPC中，
∠AQP=∠BPC=90°-∠APQ
∠A=∠B
，
∴△AQP∽△BPC，
∴
AQ
BP
=
AP
BC
=
1
2
，
∴AQ=
1
2
k，
∴
AQ
BC
=
1
2
k
2k
=
1
4
；

（2）∵
AP
AB
=
1
n
，
∴BC=AB=nk，BP=（n-1）k．
在△AQP与△BPC中，
∠AQP=∠BPC=90°-∠APQ
∠A=∠B
，
∴△AQP∽△BPC，
∴
AQ
BP
=
AP
BC
=
1
n
，
∴AQ=
n-1
n
k，
∴
AQ
BC
=
n-1
n
k
nk
=
n-1
n2
．
故答案为
1
4
；
n-1
n2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
由正方形的性质得出∠A=∠B=90°，BC=AB，设AP=k．
（1）若
AP
AB
=
1
2
，则BC=AB=2k，BP=k．先由同角的余角相等得出∠AQP=∠BPC，再根据两角对应相等的两三角形相似得到△AQP∽△BPC，由相似三角形对应边成比例得出
AQ
BP
=
AP
BC
=
1
2
，则AQ=
1
2
k，进而求出
AQ
BC
的值；
（2）若
AP
AB
=
1
n
，则BC=AB=nk，BP=（n-1）k．先由同角的余角相等得出∠AQP=∠BPC，再根据两角对应相等的两三角形相似得到△AQP∽△BPC，由相似三角形对应边成比例得出
AQ
BP
=
AP
BC
=
1
n
，则AQ=
n-1
n
k，进而求出
AQ
BC
的值．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．证明出△AQP∽△BPC是解题的关键．
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