试题

题目：
（2013·静安区二模）在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，四边形EFGH是矩形，EF=2FG，那么矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是
4
9
4
9
．
答案
4
9

青果学院解：由对称性得到△EFB≌△HDC，△AEH≌△CFG，且四个三角形都为等腰直角三角形，
∵△BEF∽△CFG，EF=2FG，
设正方形的边长为3a，即S正方形ABCD=9a2，
则BE=BF=DH=DG=2a，AE=AH=CG=CF=a，
根据勾股定理得：EF=2
2
a，EH=
2
a，
∴S矩形EFGH=EF·EH=4a2，
则矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是
4
9
．
故答案为：
4
9
考点梳理
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．
根据题意画出图形，如图所示，由对称性得到△EFB≌△HDC，△AEH≌△CFG，且四个三角形都为等腰直角三角形，再由等腰直角三角形BEF与等腰直角三角形CFG相似，且相似比为2：1，得到BE=BF=DH=DG=2AE=2AH=2CG=2CF，设正方形边长为3a，表示出BE，BF，以及AH，AE，利用勾股定理表示出EF与EH，进而表示出矩形EFGH的面积，即可求出矩形与正方形面积之比．
此题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
计算题．
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