试题

题目：
青果学院（2013·历城区三模）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形AnBnDnCn的边长是
1
3n
1
3n
．
答案
1
3n

青果学院解：过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：
∵A1B1∥AB，
∴ON⊥A1B1，
∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，
∴OM=
1
2
AB=
1
2
，
又∵△OA1B1为等腰直角三角形，
∴ON=
1
2
A1B1=
1
2
MN，
∴ON：OM=1：3，
∴第1个正方形的边长A1C1=MN=
2
3
OM=
2
3
×
1
2
=
1
3
，
同理第2个正方形的边长A2C2=
2
3
ON=
2
3
×
1
6
=
1
32
，
则第n个正方形AnBnDnCn的边长为：
1
3n
．
故答案为：
1
3n
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
过O作OM垂直于AB，交AB于点M，交A1B1于点N，由三角形OAB与三角形OA1B1都为等腰直角三角形，得到M为AB的中点，N为A1B1的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出OM为AB的一半，由AB=1求出OM的长，再由ON为A1B1的一半，即为MN的一半，可得出ON与OM的比值，求出MN的长，即为第1个正方形的边长，同理求出第2个正方形的边长，依此类推即可得到第n个正方形的边长．
此题考查了等腰直角三角形的性质，以及正方形的性质，属于一道规律型的题，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．
规律型．
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