试题

题目：
青果学院（2013·沐川县二模）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，…，Bn-1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An-1Bn-1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn-1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An-1AnBn-1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为
1
2
1
2
；面积小于2011的阴影三角形共有
6
6
个．
答案
1
2

6

解：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，
∴
A2B1
A3B2
=
S△A2B1B2
S△A3B2B3
=
1
2
，
A2B2
A3B3
=
S△A2B1B2
S△A3B2B3
=
1
2
，
又∵A1B1∥A2B2∥A3B3，
∴
A2B1
A3B2
=
OB1
OB2
=
OA1
OA2
=
1
2
，
A2B2
A3B3
=
OB2
OB3
=
1
2
，
∴OA1=A1A2，B1B2=
1
2
B2B3
继而可得出规律：A1A2=
1
2
A2A3=
1
4
A3A4…；B1B2=
1
2
B2B3=
1
4
B3B4…
又△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，
∴S△A1B1A2=
1
2
，S△A2B2A3=2，
继而可推出S△A3B3A4=8，S△A，4B4A5=32，S△A5B5A6=128，S△A6B6A7=512，S△A7B7A8=2048，
故可得小于2011的阴影三角形的有：△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，△A4B4A5，△A5B5A6，△A6B6A7，共6个．
故答案是：
1
2
；6．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形的面积．
根据面积比等于相似比的平方，可得出
A2B1
A3B2
=
1
2
，
A2B2
A3B3
=
1
2
，再由平行线的性质可得出
A2B1
A3B2
=
OB1
OB2
=
1
2
，
A2B2
A3B3
=
OB2
OB3
=
1
2
，从而可推出相邻两个阴影部分的相似比为1：2，面积比为1：4，先利用等底三角形的面积之比等于高之比可求出第一个及第二个阴影部分的面积，再由相似比为1：2可求出面积小于2011的阴影部分的个数．
此题考查了相似三角形的判定与性质及平行线的性质，解答本题的关键是掌握相似比等于面积比的平方，及平行线分线段成比例，难度较大，注意仔细观察图形，得出规律．
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