试题

题目：
青果学院（2013·香坊区一模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点F在CD上，DH⊥BF且与AC的延长线交于点E．若AC=
6
CF，CD=3，则AE的长为
3
6
3
6
．
答案
3
6

解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
∴∠BCD=∠A，
∵DH⊥BF，
∴∠DFB=∠HDB，
∴∠BFC=∠ADE，
∴△BFC∽△EDA，
∴
BC
EA
=
CF
AD
，即AE·CF=AD·BC①，
∵∠BCD=∠A，
∴Rt△ACD∽△CBD，
∴
AC
BC
=
AD
CD
，即AC·CD=AD·BC②，
由①②得AE·CF=AC·CD，
∵AC=
6
CF，CD=3，
∴AE·CF=
6
CF·3，
∴AE=3
6
．
故答案为3
6
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
由于Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，利用等角的余角相等得到∠BCD=∠A，再由DH⊥BF得到∠DFB=∠HDB，根据相似三角形的判定得到△BFC∽△EDA，利用相似比得AE·CF=AD·BC①，易得Rt△ACD∽△CBD，利用相似比得AC·CD=AD·BC②，则AE·CF=AC·CD，然后把AC=
6
CF，CD=3代入计算即可得到AE的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，对应角相等．
计算题．
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