试题

题目：
（2000·武汉）若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为
60
37
或
12
7
60
37
或
12
7
cm．
答案
60
37
或
12
7

青果学院解：如图；
Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理，得：
AC=
AB2+BC2
=5；
（1）如图①，设正方形的边长为x，则AD=3-x，CF=4-x；
易证得△ADE∽△EFC；
∴
DE
FC
=
AD
EF
，即
x
4-x
=
3-x
x
，解得x=
12
7
；
即正方形的边长为
12
7
；
（2）如图②，设正方形的边长为x，则AG=
3
4
x，CF=
4
3
x；
∴AC=AG+EF+CF=
3
4
x+
4
3
x+x=5，解得x=
60
37
；
即正方形的边长为
60
37
；
故这个正方形的边长为
12
7
或
60
37
cm．
考点梳理
勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
由于正方形的位置不确定要分两种情况讨论：①正方形有一个顶点在斜边上，②正方形有两个顶点在斜边上；①可设出正方形的边长，利用相似三角形的成比例线段求解；②可用正方形的边长表示出直角三角形的斜边长，进而可列方程求出正方形的边长．
此题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想方法．
压轴题；分类讨论．
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