试题

题目：
青果学院如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
（1）求证：△ABF∽△DFE；
（2）若△BEF也与△ABF相似，请求出
BC
CD
的值．
答案
青果学院（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠C=∠D=90°，
又由折叠的性质知△BCE≌△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°，
∵∠2+∠3=∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠1，
∴△ABF∽△DFE；

（2）解：①当△ABF∽△FBE时，∠2=∠4．
∵∠4=∠5，∠2+∠4+∠5=90°，
∴∠2=∠4=∠5=30°，
∴设CE=EF=x，则BC=
3
x，DE=
1
2
x，
∴DC=
3
2
x，
∴
BC
CD
=
3
x
3x
2
=
2
3
3
；
②当△ABF∽△FEB时，∠2=∠6，
∵∠4+∠6=90°，
∴∠2+∠4=90°，
这与∠2+∠4+∠5=90°相矛盾，
∴△ABF∽△FEB不成立．
综上所述，
BC
CD
的值是
2
3
3
．
青果学院（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠C=∠D=90°，
又由折叠的性质知△BCE≌△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°，
∵∠2+∠3=∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠1，
∴△ABF∽△DFE；

（2）解：①当△ABF∽△FBE时，∠2=∠4．
∵∠4=∠5，∠2+∠4+∠5=90°，
∴∠2=∠4=∠5=30°，
∴设CE=EF=x，则BC=
3
x，DE=
1
2
x，
∴DC=
3
2
x，
∴
BC
CD
=
3
x
3x
2
=
2
3
3
；
②当△ABF∽△FEB时，∠2=∠6，
∵∠4+∠6=90°，
∴∠2+∠4=90°，
这与∠2+∠4+∠5=90°相矛盾，
∴△ABF∽△FEB不成立．
综上所述，
BC
CD
的值是
2
3
3
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
（1）在△ABF与△DFE中的对应角∠A=∠D=90°，∠2=∠1，易证△ABF∽△DFE；
（2）需要分类讨论：①△ABF∽△FBE；②△ABF∽△FEB时求出
BC
CD
的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质．解答（2）题时，要分类讨论，以防漏解．另外，解答（2）题时，充分利用了“相似三角形的对应角相等”的性质．
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