试题

如图1和图2，∠ACB=90°，AC=BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．
（1）图1中，①证明：△ACE∽△CBD； ②若AE=a，BD=b，计算△ACB的面积．
（2）图2中，若AE=a，BD=b，（b＞a）计算梯形ADBE的面积．

（1）①证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=180°-90°=90°，
∵BD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠E=∠D=90°，在△ACE中，
∠ACE+∠CAE=180°-∠E=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
∴△ACE∽△CBD；
②解：∵△ACE∽△CBD；
AC=BC，
∴△ACE≌△CBD，
∵AE=a，BD=b，
∴CE=b，CD=a，
∵ED为梯形AEDB的高，
∴△ACB的面积=梯形AEDB面积-△ACE面积-△CBD的面积，
=

AE+BD

2

×DE-

1

2

AE×EC-

1

2

BD×DC，
=

a+b

2

×（a+b）-

1

2

ab-

1

2

ab，
=

1

2

（a²+b²），

（2）解：∵△ACE≌△CBD（已证），
∴CD=AE，CE=BD，
∵AE=a，BD=b，
∴CE=b，CD=a，
∴DE=CE-CD=b-a，
∴梯形ADBE面积=

AE+BD

2

×DE，
=

a+b

2

×（b-a），
=

b2-a2

2

．
（1）①证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=180°-90°=90°，
∵BD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠E=∠D=90°，在△ACE中，
∠ACE+∠CAE=180°-∠E=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
∴△ACE∽△CBD；
②解：∵△ACE∽△CBD；
AC=BC，
∴△ACE≌△CBD，
∵AE=a，BD=b，
∴CE=b，CD=a，
∵ED为梯形AEDB的高，
∴△ACB的面积=梯形AEDB面积-△ACE面积-△CBD的面积，
=

AE+BD

2

×DE-

1

2

AE×EC-

1

2

BD×DC，
=

a+b

2

×（a+b）-

1

2

ab-

1

2

ab，
=

1

2

（a²+b²），

（2）解：∵△ACE≌△CBD（已证），
∴CD=AE，CE=BD，
∵AE=a，BD=b，
∴CE=b，CD=a，
∴DE=CE-CD=b-a，
∴梯形ADBE面积=

AE+BD

2

×DE，
=

a+b

2

×（b-a），
=

b2-a2

2

．