试题

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E，我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．
（1）当∠CPD=30°时，求AE的长；
（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP，
∴当∠CPD=30°时，∠AEP=30°．
在Rt△CPD中，CD=AB=4，∠CPD=30°，因此PD=CD·cot30°=4

3

，
∴AP=AD-PD=10-4

3

．
在Rt△APE中，AP=10-4

3

，∠AEP=30°，因此AE=AP·cot30°=10

3

-12．

（2）假设存在这样的点P，
∵Rt△AEP∽Rt△DPC，
∴

CD

AP

=

PD

AE

=2．
∵CD=AB=4，
∴AP=2，PD=8，
∴存在这样的P点，且DP长为8．
解：（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP，
∴当∠CPD=30°时，∠AEP=30°．
在Rt△CPD中，CD=AB=4，∠CPD=30°，因此PD=CD·cot30°=4

3

，
∴AP=AD-PD=10-4

3

．
在Rt△APE中，AP=10-4

3

，∠AEP=30°，因此AE=AP·cot30°=10

3

-12．

（2）假设存在这样的点P，
∵Rt△AEP∽Rt△DPC，
∴

CD

AP

=

PD

AE

=2．
∵CD=AB=4，
∴AP=2，PD=8，
∴存在这样的P点，且DP长为8．