试题

题目：
青果学院已知·ABCD中，AB=
3
，AD=2，∠D=45°，·EBGF是由·ABCD旋转所得，且边EF刚好过点C，连接AE，CG
（1）求
AE
CG
的值；
（2）求四边形AECD的面积．
答案
解：（1）∵·EBGF是由·ABCD旋转所得，且边EF刚好过点C，
∴∠ABE=∠CBG，AB=EB，BC=BG，
∴
AB
CB
=
EB
GB
，
∴△ABE∽△CBG，
∴
AE
CG
=
AB
BC
，
∵·ABCD中，AB=
3
，AD=2，
∴BC=AD=2，
∴
AE
CG
=
3
2
；

青果学院（2）过点C作CH⊥AD于H，
∵∠D=45°，CD=AB=
3
，
∴CH=CD·sin45°=
6
2
，
∴S·BEFG=S·ABCD=AD·CH=2×
6
2
=
6
，
∴S△BCG=
1
2
S·ABCD=
6
2
，
∵△ABE∽△CBG，
∴△ABE与△BCG的面积比为3：4，
∴S△ABE=
3
4
×
6
2
=
3
6
8
，
过点C作△BEC的高CK，设CK=h，
∵BE∥GF，∠F=∠D=45°，
∴∠KEC=∠F=45°，
∴EK=EC=h，
∴BK=BE+EK=
3
+h，
在Rt△BKC中，BK2+CK2=BC2，
即（
3
+h）2+h2=22，
解得：h=
5
-
3
2
，
∴S△BCE=
1
2
BE·CK=
1
2
×
3
×
5
-
3
2
=
15
-3
4
，
∴S四边形AECD=
6
-
3
6
8
-
15
-3
4
=
5
6
-2
15
+6
8
．
解：（1）∵·EBGF是由·ABCD旋转所得，且边EF刚好过点C，
∴∠ABE=∠CBG，AB=EB，BC=BG，
∴
AB
CB
=
EB
GB
，
∴△ABE∽△CBG，
∴
AE
CG
=
AB
BC
，
∵·ABCD中，AB=
3
，AD=2，
∴BC=AD=2，
∴
AE
CG
=
3
2
；

青果学院（2）过点C作CH⊥AD于H，
∵∠D=45°，CD=AB=
3
，
∴CH=CD·sin45°=
6
2
，
∴S·BEFG=S·ABCD=AD·CH=2×
6
2
=
6
，
∴S△BCG=
1
2
S·ABCD=
6
2
，
∵△ABE∽△CBG，
∴△ABE与△BCG的面积比为3：4，
∴S△ABE=
3
4
×
6
2
=
3
6
8
，
过点C作△BEC的高CK，设CK=h，
∵BE∥GF，∠F=∠D=45°，
∴∠KEC=∠F=45°，
∴EK=EC=h，
∴BK=BE+EK=
3
+h，
在Rt△BKC中，BK2+CK2=BC2，
即（
3
+h）2+h2=22，
解得：h=
5
-
3
2
，
∴S△BCE=
1
2
BE·CK=
1
2
×
3
×
5
-
3
2
=
15
-3
4
，
∴S四边形AECD=
6
-
3
6
8
-
15
-3
4
=
5
6
-2
15
+6
8
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；旋转的性质．
（1）由旋转的性质，易证得△ABE∽△CBG，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得
AE
CG
的值；
（2）首先过点C作CH⊥AD于H，求出平行四边形ABCD的高和面积而△BCG的面积是平行四边形BFGE面积的一半，可得△ABE的面积，再过点C作△BEC的高CK，设CK=h，由勾股定理可得方程：（
3
+h）2+h2=22，解方程求得h的值，继而求得△BCE的面积，则可求得四边形AECD的面积．
此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理以及旋转的性质．此题难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．
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