试题

如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰直角△CDE，连接AD，
（1）当点E运动过程中∠BCE与∠ACD的关系是．
（2）AD与BC有什么位置关系？说明理由．
（3）四边形ABCD的面积是否有最大值？如果有，最大值是多少？如果没有，说明理由．

解：（1）∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形，BC=2，
∴AB=AC=

2

2

BC=

2

，CD=DE=

2

2

CE，∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE；即∠BCE=∠ACD．
故答案为：相等；

（2）AD∥BC，理由如下：
∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形，
∴

CD

EC

=

AC

BC

=

2

2

，
∴

CD

AC

=

CE

BC

，
∵由（1）知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC，
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，
∴AD∥BC；

（3）四边形ABCD的面积有最大值，理由如下：
∵△ABC的面积为定值，
∴若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
∵△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），
∴若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
∵△BEC∽△ADC，
∴当AD最长时，BE也最长；
∴梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=

2

，AD=1；
故S_梯形ABCD=

1

2

（1+2）×1=

3

2

．