试题

题目：
如图正方形ABCD中，E是边BC上一动点，BC=nBE，DO⊥AE于点O，CO的延长线交AB于青果学院点F．
（1）当n=2时，DO=
2
2
AO；OE=
3
2
3
2
AO．
（2）当n=3时，求证
S四边形AFCD
S正方形ABCD
=
11
18
．
（3）当n=
5±
5
2
5±
5
2
时，F是AB的5等分点．
答案
2

3
2

5±
5
2

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，DO⊥AE，
∴∠EAD=∠AEB，∠B=∠AOD，
∴△AOD∽△EBA，
∴
AO
BE
=
AD
AE
=
OD
AB
，
∵AB=BC=2BE，
∴2AO=AD，
∴OE=
3
2
AO．
故答案为：2，
3
2
；

（2）证明：延长AE与DC，相交于G，
设AB=3a，BE=a，
∵AB∥CD，
∴AE：EG=BE：EC，
∴CG=2AB，
∵OD⊥AE，∠ADC=90°，
∴△AOD∽△DOG，
∴
AO
OD
=
OD
OG
=
AD
DG
=
1
3
，
∴AO=
1
3
OD，OG=3OD，
∴
AO
OG
=
1
9
，
∵△AFO∽△GCO，
∴
AF
CG
=
1
9
，
∵△ABE∽△GCE，
∴
AB
CG
=
BE
EC
，
即：
3a
CG
=
a
3a-a
，
∴CG=6a，
∴AF=
2
3
a；
∴
S四边形AFCD
S四边形ABCD
=
(AF+CD)×BC
2
=
(
2
3
a+3a)×3a
2
：9a2=
11
18
．

（3）∵延长AE与DC，相交于G，
∵AB∥CD，
∴AE：EG=BE：EG，青果学院
∴CG=（n-1）AB，
∵OD⊥AE，∠ADC=90°，
∴△AOD∽△DOG，
∴
AO
OD
=
OD
OG
=
AD
DG
=
1
n
，
∴AO=
1
n
OD，OG=nOD，
∴
AO
OG
=
1
n2
，
∵△AFO∽△GCO，
∴
AF
CG
=
1
n2
，
∵AF=
1
5
AB，
∴
1
5
AB
(n-1)AB
=
1
n2
，
即：n2-5n+5=0，
解得：n=
5±
5
2
．
∴当n=
5±
5
2
时，F是AB的5等分点．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
（1）根据三角形相似得出2AO=AD，OE=
3
2
AO．
（2）利用△AFO∽△GCO，以及△ABE∽△GCE分别求出CG=6a，AF=
2
3
a，即可得出答案；
（3）假设F是AB的5等分点，利用三角形相似，即可求出答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识．此题综合性较强，那难度较大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．
找相似题