试题

题目：
青果学院如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的圆，圆心为O，且AB=AD，延长CB、DA交于P，过C点作PD的垂线交PD的延长线于E，且PB=BO，连接OA．
（1）求证：OA∥CD；
（2）求线段BC：DC的值；
（3）若CD=18，求DE的长．
答案
青果学院（1）证明：连接BD，交OA于点F．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，即CD⊥BD，
∵AB=AD，
∴
AB
=
AD

∴OA⊥BD，
∴OA∥CD；

（2）解：设⊙O的半径为r，
∵PB=OB，
∴PB=OB=OC=OA=r，
∵OA∥CD，
∴△OAP∽△CDP，
∴
OP
PC
=
OA
CD
，
2r
3r
=
r
CD
，解得CD=
3r
2
，
∴
BC
CD
=
2r
3r
2
=
4
3
；

（3）解：∵OF∥CD，
OF
DC
=
BO
BC
=
1
2
，
∴OF=9，AF=3；
∵BD=
BC2-DC2
=6
7
，
∴DF=
1
2
BD=3
7
，
∴AD=
DF2+AF2
=6
2
；
∵∠AFD=∠DEC=90°，OA∥DC，∠FAD=∠CDE，
∴△AFD∽△DEC，
∴
DE
DC
=
AF
AD
，即
DE
18
=
3
6
2
；
∴DE=
9
2
2
．
青果学院（1）证明：连接BD，交OA于点F．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，即CD⊥BD，
∵AB=AD，
∴
AB
=
AD

∴OA⊥BD，
∴OA∥CD；

（2）解：设⊙O的半径为r，
∵PB=OB，
∴PB=OB=OC=OA=r，
∵OA∥CD，
∴△OAP∽△CDP，
∴
OP
PC
=
OA
CD
，
2r
3r
=
r
CD
，解得CD=
3r
2
，
∴
BC
CD
=
2r
3r
2
=
4
3
；

（3）解：∵OF∥CD，
OF
DC
=
BO
BC
=
1
2
，
∴OF=9，AF=3；
∵BD=
BC2-DC2
=6
7
，
∴DF=
1
2
BD=3
7
，
∴AD=
DF2+AF2
=6
2
；
∵∠AFD=∠DEC=90°，OA∥DC，∠FAD=∠CDE，
∴△AFD∽△DEC，
∴
DE
DC
=
AF
AD
，即
DE
18
=
3
6
2
；
∴DE=
9
2
2
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
（1）连接BD，由圆周角定理可知∠BDC=90°，即CD⊥BD，再由AB=AD可知
AB
=
AD
，则OA⊥BD，由此即可得出结论；
（2）设⊙O的半径为r，则PB=OB=OC=OA=r，再由OA∥CD可知，△OAP∽△CDP，故可得出
OP
PC
=
OA
CD
，故可用r表示出CD的长，再求出BC：DC的值即可；
（3）由OF∥CD，OB=OC根据中位线定理可以求出OF，AF；再根据勾股定理在Rt△DBC中可以求出BD，DF；接着在Rt△ADF中求出AD；然后利用平行线的性质得∠FAD=∠CDE证明△AFD∽△DEC，利用相似三角形的对应边成比例可以求出DE．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，综合性比较强，此题把垂径定理，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，中位线定理等知识都放在圆的背景中，充分发挥这些知识的作用解题．
几何综合题；压轴题．
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