试题

题目：
在△OAB中，O为坐标原点，横、纵轴的单位长度相同，A、B的坐标分别为（8，6），（16，0），点P沿OA边从点O开始向终点A运动，速度每秒1个单位，点Q沿BO边从B点开始向终点O运动，速度每秒2个单位，如果P、Q同时出发，用t（秒）青果学院表示移动时间，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
求：（1）几秒时PQ∥AB；
（2）设△OPQ的面积为y，求y与t的函数关系式；
（3）△OPQ与△OAB能否相似？若能，求出点P的坐标，若不能，试说明理由．
答案
青果学院解：（1）由已知得OA=
82+62
=10，
当PQ∥AB时，
OP
OA
=
OQ
OB
，
则：
t
10
=
16-2t
16
，得：t=
40
9


（2）过P作PC⊥OB，垂足为C，过A作AD⊥OB，垂足为D．则
PC
AD
=
OP
OA
，
PC
6
=
t
10
，
∴PC=
3
5
t，y=
1
2
OQ·PC=
1
2
（16-2t）·
3
5
t=-
3
5
t2+
24
5
t；
∴y=-
3
5
t2+
24
5
t；

（3）能相似．
①若PQ∥AB，∴∠OAB=∠OPQ，∠ABO=∠PQO，
∴△OPQ∽△OAB，
∵t=
40
9
，∴OP=
40
9
，
∵
PC
AD
=
OP
OA
=
OC
OD
（其中AD=6，OA=10，OD=8）即
PC
6
=
40
9
10
=
OC
8
，
∴OC=
32
9
，PC=
8
3
，
∴P点坐标是（
32
9
，
8
3
）．
同理，当OPQ∽△OBA时，OC=
512
105
，PC=
128
35

∴P2（
512
105
，
128
35
）
P点的坐标是（
32
9
，
8
3
）或（
512
105
，
128
35
）
青果学院解：（1）由已知得OA=
82+62
=10，
当PQ∥AB时，
OP
OA
=
OQ
OB
，
则：
t
10
=
16-2t
16
，得：t=
40
9


（2）过P作PC⊥OB，垂足为C，过A作AD⊥OB，垂足为D．则
PC
AD
=
OP
OA
，
PC
6
=
t
10
，
∴PC=
3
5
t，y=
1
2
OQ·PC=
1
2
（16-2t）·
3
5
t=-
3
5
t2+
24
5
t；
∴y=-
3
5
t2+
24
5
t；

（3）能相似．
①若PQ∥AB，∴∠OAB=∠OPQ，∠ABO=∠PQO，
∴△OPQ∽△OAB，
∵t=
40
9
，∴OP=
40
9
，
∵
PC
AD
=
OP
OA
=
OC
OD
（其中AD=6，OA=10，OD=8）即
PC
6
=
40
9
10
=
OC
8
，
∴OC=
32
9
，PC=
8
3
，
∴P点坐标是（
32
9
，
8
3
）．
同理，当OPQ∽△OBA时，OC=
512
105
，PC=
128
35

∴P2（
512
105
，
128
35
）
P点的坐标是（
32
9
，
8
3
）或（
512
105
，
128
35
）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行线分线段成比例．
（1）由两点间的距离公式求得AO=10，然后根据平行线PQ∥AB分线段成比例知
OP
OA
=
OQ
OB
，据此列出关于t的方程，并解方程；
（2）过P作PC⊥OB，垂足为C，过A作AD⊥OB，垂足为D．构造平行线PC∥AQ，根据平行线分线段成比例及三角形的面积公式求得关于y与t的函数关系式；
（3）当PQ∥AB时，得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得△OPQ∽△OAB．然后根据相似三角形的性质：对应线段成比例求得点P的坐标．
本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例及勾股定理的应用．解答此题的关键是通过作辅助线PC⊥OB，AD⊥OB构造平行线PC∥AQ，然后利用平行线分线段成比例来求出相关线段的长度．
代数几何综合题；动点型．
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