试题

题目：
青果学院如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，求证：（1）△ABD∽△ECA；（2）BC2=DB·CE．
答案
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠CAE=60°，
∵∠ABC是△ABD的外角，
∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°，
∴∠CAE=∠D，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACE=120°，
∴△ABD∽△ECA；

（2）∵△ABD∽△ECA，
∴
AB
CE
=
BD
AC
，即AB·AC=BD·CE，
∵AB=AC=BC，
∴BC2=BD·CE．
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠CAE=60°，
∵∠ABC是△ABD的外角，
∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°，
∴∠CAE=∠D，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACE=120°，
∴△ABD∽△ECA；

（2）∵△ABD∽△ECA，
∴
AB
CE
=
BD
AC
，即AB·AC=BD·CE，
∵AB=AC=BC，
∴BC2=BD·CE．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
（1）由△ABC是等边三角形，∠DAE=120°可知∠DAB+∠CAE=60°，再由三角形外角的性质可知∠DAB+∠D=∠ABC=60°，故∠CAE=∠D，再由∠ABC=60°，∠ACB=60°可知，∠ABD=∠ACE=120°，故可得出△ABD∽△ECA；
（2）由（1）中△ABD∽△ECA可知
AB
CE
=
BD
AC
，即AB·AC=BD·CE，故可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质及三角形外角的性质，根据题意判断出△ABD∽△ECA是解答此题的关键．
探究型．
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