试题

题目：
青果学院如图：四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，且AC⊥AB，BD⊥CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F．
求证：（1）△AMB∽△DMC；
（2）AB2=BF·BD．
答案
证明：（1）∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
又∵∠AMB=∠DMC，
∴△AMB∽△DMC；

（2）∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，即A、B、C、D四点共圆，
∴∠CAD=∠CBD，又由AE⊥BC，
∴∠AEB=∠BAC，∠BAC+∠CAD=∠DBC+∠AEB，
∴∠BAD=∠BFA，∠FBA是公共角，
∴△BAD∽△BFA，
∴
BD
AB
=
AB
BF
，
∴AB2=BF·BD．
证明：（1）∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
又∵∠AMB=∠DMC，
∴△AMB∽△DMC；

（2）∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠BAC=∠BDC=90°，即A、B、C、D四点共圆，
∴∠CAD=∠CBD，又由AE⊥BC，
∴∠AEB=∠BAC，∠BAC+∠CAD=∠DBC+∠AEB，
∴∠BAD=∠BFA，∠FBA是公共角，
∴△BAD∽△BFA，
∴
BD
AB
=
AB
BF
，
∴AB2=BF·BD．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）因为AC⊥AB，BD⊥CD，所以，∠BAC=∠BDC=90°，∠AMB=∠DMC是对顶角，即可证明△AMB∽△DMC；
（2）因为AC⊥AB，BD⊥CD，所以，∠BAC=∠BDC=90°，即A、B、C、D四点共圆，可得∠CAD=∠CBD，又由AE⊥BC，所以∠AEB=∠BAC，∠BAC+∠CAD=∠DBC+∠AEB，即∠BAD=∠BFA，∠FBA是公共角，可证△BAD∽△BFA，得
BD
AB
=
AB
BF
，即得AB2=BF·BD．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
证明题．
找相似题