试题

题目：
（2006·淄博）如图，已知△ABC的面积S△ABC=1．
在图1中，若
AA1
AB
=
BB1
BC
=
CC1
CA
=
1
2
，则S△A1B1C1=
1
4
；
在图2中，若
AA2
AB
=
BB2
BC
=
CC2
CA
=
1
3
，则S△A2B2C2=
1
3
；
在图3中，若
AA3
AB
=
BB3
BC
=
CC3
CA
=
1
4
，则S△A3B3C3=
7
16
；
按此规律，若
AA8
AB
=
BB8
BC
=
CC8
CA
=
1
9
，S△A8B8C8=
19
27
19
27
．
青果学院
答案
19
27

青果学院
解：对图（2）进行分析：可以标出每条边的所有分点的字母，从A2开始，逆时针为A3、B3、C3，
可以得到△A3BB2∽△ABC，
且面积比为(
1
3
)2=
1
9
，也就可以得到S△A3BB2=
1
9
S△ABC，而△A2A3B2和△A3BB2同底等高，面积相等，
所以，S△A2BB2=
2
9
S△ABC，同样道理，可得到，S△B2C2C=
2
9
S△ABC，S△AA2C2=
2
9
S△ABC，
那么S△A2B2C3=（1-
6
9
）S△ABC=
1
3
S△ABC．
根据上述分析可以得到，如果An-1是AB的n等分点，Bn-1是BC的n等分点，Cn-1是AC的n等分点，
那么S△An-1Bn-1Cn-1=1-(
1
n
)2×3×(n-1)=1-
3(n-1)
n2
，当n=9时，则S△A8B8C8=1-
3(9-1)
81
=
19
27
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
根据图的特点，找出图中的相似三角形，求出其相似比，根据面积比等于相似比的平方找出规律解答．
此题运用了相似三角形的判定和性质，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，还用到了等底等高的三角形面积相等的知识．
压轴题；规律型．
找相似题