试题

题目：
青果学院如图，已知P是△ABC内的任意一点，过P的直线DE∥BC，GF∥AB，MN∥AC，
求证：
DM
AB
+
FN
BC
+
GE
AC
=1．
答案
解：∵DE∥BC，GF∥AB，MN∥AC，
∴四边形AMPG、四边形CEPN、四边形PDBF是平行四边形，
∴AM=PG，PF=BD，AG=PM，CE=PN，DP=BF，
∴AM+BD=FG，AG+CE=MN，BF+CN=DE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
DE
BC
=
AD
AB
，
同理
MN
AC
=
BM
AB
，
∴
DE
BC
+
FG
AB
+
MN
AC

=
AD
AB
+
FG
AB
+
BM
AB

=
AD+FG+BM
AB

=
AM+DM+AM+BD+BD+DM
AB

=
2AB
AB

=2，
∴
DM
AB
+
FN
BC
+
GE
AC

=
AB-AM-BD
AB
+
BC-BF-CN
BC
+
AC-AG-CE
AC

=1-
FG
AB
+1-
DE
BC
+1-
MN
AC

=3-（
DE
BC
+
FG
AB
+
MN
AC
）
=3-2
=1，
即
DM
AB
+
FN
BC
+
GE
AC
=1．
解：∵DE∥BC，GF∥AB，MN∥AC，
∴四边形AMPG、四边形CEPN、四边形PDBF是平行四边形，
∴AM=PG，PF=BD，AG=PM，CE=PN，DP=BF，
∴AM+BD=FG，AG+CE=MN，BF+CN=DE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
DE
BC
=
AD
AB
，
同理
MN
AC
=
BM
AB
，
∴
DE
BC
+
FG
AB
+
MN
AC

=
AD
AB
+
FG
AB
+
BM
AB

=
AD+FG+BM
AB

=
AM+DM+AM+BD+BD+DM
AB

=
2AB
AB

=2，
∴
DM
AB
+
FN
BC
+
GE
AC

=
AB-AM-BD
AB
+
BC-BF-CN
BC
+
AC-AG-CE
AC

=1-
FG
AB
+1-
DE
BC
+1-
MN
AC

=3-（
DE
BC
+
FG
AB
+
MN
AC
）
=3-2
=1，
即
DM
AB
+
FN
BC
+
GE
AC
=1．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
根据平行四边形的性质得出AM=PG，PF=BD，AG=PM，CE=PN，DP=BF，求出AM+BD=FG，AG+CE=MN，BF+CN=DE，根据相似得出
DE
BC
=
AD
AB
，
MN
AC
=
BM
AB
，求出
DE
BC
+
FG
AB
+
MN
AC
=2，求出
DM
AB
+
FN
BC
+
GE
AC
=3-（
DE
BC
+
FG
AB
+
MN
AC
），代入求出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，关键是求出
DM
AB
+
FN
BC
+
GE
AC
=2，题目比较好，但是有一定的难度．
证明题．
找相似题