试题

如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，且OP=2．以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M，N两点，且∠MPN=∠AOB=60°．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M，N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．
（1）判断：△OPN与△PMN是否相似，并说明理由；
（2）写出y与x之间的关系式；
（3）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．

解：（1）△OPN∽△PMN．
证明：在△OPN和△PMN中，
∠PON=∠MPN=60°，∠ONP=∠PNM，
∴△OPN∽△PMN；                            

（2）∵MN=ON-OM=y-x，
∵△OPN∽△PMN，
∴

PN

MN

=

ON

PN

，
∴PN²=ON·MN=y（y-x）=y²-xy．
过P点作PD⊥OB，垂足为D．
在Rt△OPD中，
OD=OP·cos60°=2×

1

2

=1，PD=POsin60°=

3

，
∴DN=ON-OD=y-1．
在Rt△PND中，
PN²=PD²+DN²=（

3

）²+（y-1）²=y²-2y+4，
∴y²-xy=y²-2y+4，
即y=

4

2-x

；                                 

（3）在△OPM中，OM边上的高PD为

3

，
∴S=

1

2

·OM·PD=

1

2

·x·

3

=

3

2

x，
∵y＞0，
∴2-x＞0，即x＜2．
又∵x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜2．
∵S是x的正比例函数，且比例系数

3

2

＞0，
∴0＜S＜

3

2

×2，
即0＜S＜

3

．
解：（1）△OPN∽△PMN．
证明：在△OPN和△PMN中，
∠PON=∠MPN=60°，∠ONP=∠PNM，
∴△OPN∽△PMN；                            

（2）∵MN=ON-OM=y-x，
∵△OPN∽△PMN，
∴

PN

MN

=

ON

PN

，
∴PN²=ON·MN=y（y-x）=y²-xy．
过P点作PD⊥OB，垂足为D．
在Rt△OPD中，
OD=OP·cos60°=2×

1

2

=1，PD=POsin60°=

3

，
∴DN=ON-OD=y-1．
在Rt△PND中，
PN²=PD²+DN²=（

3

）²+（y-1）²=y²-2y+4，
∴y²-xy=y²-2y+4，
即y=

4

2-x

；                                 

（3）在△OPM中，OM边上的高PD为

3

，
∴S=

1

2

·OM·PD=

1

2

·x·

3

=

3

2

x，
∵y＞0，
∴2-x＞0，即x＜2．
又∵x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜2．
∵S是x的正比例函数，且比例系数

3

2

＞0，
∴0＜S＜

3

2

×2，
即0＜S＜

3

．