试题

题目：
青果学院如图是一块直角三角形木板，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，现要把它加工成一个正方形，请你设计一个方案，怎样裁才能使正方形的面积最大？并求出这个最大正方形的边长．
答案
青果学院解：BC=
AB2-AC2
=
52-42
=3．
设正方形的边长为xcm，
方案①，如图1，正方形EFGH为设计正方形，
因为HG∥AB，
所以
HG
AB
=
CM
CD
，
又CD=
12
5
，CM=
12
5
-x，
则
x
5
=
12
5
-x
12
5
，
解x=
60
37
；
方案②，如图2，正方形CDEF为设计正方形，
因为DE∥BC，
所以
DE
BC
=
AD
AC
，
即
x
3
=
4-x
4
，
解得x=
12
7
，
因为
60
37
＜
12
7
，
所以根据方案②的设计可得面积最大正方形，这时边长为
12
7
．
青果学院解：BC=
AB2-AC2
=
52-42
=3．
设正方形的边长为xcm，
方案①，如图1，正方形EFGH为设计正方形，
因为HG∥AB，
所以
HG
AB
=
CM
CD
，
又CD=
12
5
，CM=
12
5
-x，
则
x
5
=
12
5
-x
12
5
，
解x=
60
37
；
方案②，如图2，正方形CDEF为设计正方形，
因为DE∥BC，
所以
DE
BC
=
AD
AC
，
即
x
3
=
4-x
4
，
解得x=
12
7
，
因为
60
37
＜
12
7
，
所以根据方案②的设计可得面积最大正方形，这时边长为
12
7
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
首先根据勾股定理求得BC的长，然后分别求得正方形的其中两条边在直角三角形的两条直角边上的正方形的面积和以正方形的一边在直角三角形的斜边上的正方形的面积，再进一步比较它们的大小即可．
此题综合运用了勾股定理以及相似三角形的判定及性质．
应用题．
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