试题

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点．
（1）如果BD∥CF，求证：AE=5DE；
（2）在（1）的条件下，若BC=2

5

，求线段CD的长度．

解：（1）∵AD是⊙O直径，
∴∠ABD=∠ACD=90°．
又AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=CD．
由垂径定理可得：BE=CE，且BC⊥AD．
∵BD∥CF，
∴△BDE≌△CFE，
∴CF=BD=CD．
又BC⊥AD，
∴E是DF中点，
又F是OE中点，
∴OF=FE=ED=

1

3

OA，即AE=5DE．

（2）∵BC=2

5

，由（1）知BE=CE=

5

，
由△CDE∽△ACE，可得CE²=DE×AE，
∴DE=1，AE=5
由△CDE∽△ACD，可得
CD²=DE×AD，即CD²=6，
∴CD=

6

．
解：（1）∵AD是⊙O直径，
∴∠ABD=∠ACD=90°．
又AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴BD=CD．
由垂径定理可得：BE=CE，且BC⊥AD．
∵BD∥CF，
∴△BDE≌△CFE，
∴CF=BD=CD．
又BC⊥AD，
∴E是DF中点，
又F是OE中点，
∴OF=FE=ED=

1

3

OA，即AE=5DE．

（2）∵BC=2

5

，由（1）知BE=CE=

5

，
由△CDE∽△ACE，可得CE²=DE×AE，
∴DE=1，AE=5
由△CDE∽△ACD，可得
CD²=DE×AD，即CD²=6，
∴CD=

6

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