试题

如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标分别为（3，0）、（0，3）、（-3，0）、（0，-3），点M为AB上一点，AM：BM=2：1，∠EMF在AB的下方以M为中心旋转且∠EMF=45°，ME交y轴于点P，MF交x轴于点Q．试回答下列问题：
（1）点M的坐标为；
（2）设AQ的长为y，BP的长为x．求y与x的函数关系式；
（3）当P为OB的中点时，求四边形OQMP的面积；
（4）若以B、P、M为顶点的三角形为等腰三角形，则点Q的坐标为．

解：（1）∵正方形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标分别为（3，0）、（0，3）、（-3，0）、（0，-3），
∴OA=OB=OC=OD=3，在Rt△AOB中由勾股定理，得
AB=3

2

．
∵AM：BM=2：1
∴AM=2

2

，
∴BM=

2

作MG⊥AC于点G，
∴MG∥BD，
∴△AMG∽△ABO，
∴

AM

AB

=

MG

BO

，
∴

2 2

3 2

=

MG

3

，
∴MG=2，
∴AG=2，
∴OG=1，
∴M（1，2）

（2）∵四边形ABCD是正方形，且AC、BD是对角线，
∴∠1=∠5=45°，
∴∠3+∠4=135°，
∵∠EMF=45°，
∴∠2+∠4=135°，
∴∠2=∠3，有∠1=∠5，
∴△BMP∽△AQM，
∴

BM

AQ

=

BP

AM

，
∴

2

y

=

x

2 2

，
解得：y=

4

x

（3）∵P为OB的中点，
∴BP=

1

2

OB=

3

2

，
∴y=AQ=

4

3 2

=

8

3

．
作MH⊥BD于H，MS⊥AC于S，
由勾股定理可以求得：MH=1，MS=2
∴S_{四边形OQMP}=

3×3

2

-

3 2 ×1

2

-

8 3 ×2

2

=

13

12

                    


（4）当BP=MP时，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠BPM=90°且BM=

2

，由勾股定理，得
BP=PM=1
∴y=AQ=4
∴Q（-1，0）
当BM=MP时，
∴∠1=∠BPM=45°，
∴∠2=90°，且BM=

2

，由勾股定理，得
BP=2，
∴y=AQ=2，
Q（1，0）；
当BP=BM时，Q点的坐标应该是（3-2

2

，0）．
故答案为：（-1，0）或（1，0），（3-2

2

，0）．