试题

在△ABC中，AB=AC，D为BC边中点，以点D为顶点作∠MDN=∠B．
（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，如图（1），不添加辅助线，直接写出图中所有与△ADE相似的三角形（不需要证明）；
（2）将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM、DN分别交线段AC、AB于点E、F（点E与点A不重合，如图（2））
①求证：△BDF∽△CED；
②△BDF与△DEF是否相似？并证明你的结论．

（1）答：与△ADE相似的三角形有△ABD、△ACD、△DCE．
证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE；
        
（2）①证明：∵∠BFD=180°-∠B-∠BDF，∠EDC=180°-∠EDF-∠BDF，
又∵∠B=∠EDF，
∴∠BFD=∠EDC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED；                   
②△BDF∽△DEF．                      
证明：∵△BDF∽△CED，
∴

FD

DE

=

BF

CD

，
∵BD=CD，
∴

FD

DE

=

BF

BD

，
∴

FD

BF

=

DE

BD

．
又∵∠EDF=∠B，
∴△BDF∽△DEF．
（1）答：与△ADE相似的三角形有△ABD、△ACD、△DCE．
证明：∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，
又∵∠MDN=∠B，
∴△ADE∽△ABD，
同理可得：△ADE∽△ACD，
∵∠MDN=∠C=∠B，
∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
∠B=∠MDN，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴△ADE∽△DCE；
        
（2）①证明：∵∠BFD=180°-∠B-∠BDF，∠EDC=180°-∠EDF-∠BDF，
又∵∠B=∠EDF，
∴∠BFD=∠EDC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BDF∽△CED；                   
②△BDF∽△DEF．                      
证明：∵△BDF∽△CED，
∴

FD

DE

=

BF

CD

，
∵BD=CD，
∴

FD

DE

=

BF

BD

，
∴

FD

BF

=

DE

BD

．
又∵∠EDF=∠B，
∴△BDF∽△DEF．