试题

如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，F为ED的中点．
求证：∠ABE=

1

2

∠FBC．

证明：取DC的中点G，连接FG，BG，
则可得∠ABE=∠CBG，△FDG∽△CGB，且其相似比为1：2，
∴∠CBG=∠DGF，∴FG⊥BG，即△BFG是直角三角形，
又其相似比为1：2，即

FG

BG

=

1

2

=

FD

DG

=

CG

BC

，
∴△BFG∽△BGC∽△GFD，
∴∠FBG=∠GBC，即∠ABE=∠CBG=∠FBG，
∴∠ABE=

1

2

∠FBC．
证明：取DC的中点G，连接FG，BG，
则可得∠ABE=∠CBG，△FDG∽△CGB，且其相似比为1：2，
∴∠CBG=∠DGF，∴FG⊥BG，即△BFG是直角三角形，
又其相似比为1：2，即

FG

BG

=

1

2

=

FD

DG

=

CG

BC

，
∴△BFG∽△BGC∽△GFD，
∴∠FBG=∠GBC，即∠ABE=∠CBG=∠FBG，
∴∠ABE=

1

2

∠FBC．